주변의 공기를 상상해 보세요. 방 안의 모든 점에서 공기는 특정한 속도를 가지고 있으며, 이는 움직이는 방향과 속력으로 나타납니다. 이것이 바로 벡터장. 스칼라장은 각 점에서 온도만 알려주는 반면, 벡터장은 바람, 해류 또는 중력 같은 동적인 물리적 현상을 설명하는 화살표로 공간을 채웁니다.
정식 정의
이러한 필드를 수학적으로 분석하기 위해 다음의 기초적인 정의들을 사용합니다:
정의 1 (2차원 벡터장): $D$를 $\mathbb{R}^2$ 내의 집합이라고 하자. $\mathbb{R}^2$ 위의 벡터장은 $D$ 내의 각 점 $(x, y)$에 대해 두 차원 벡터를 할당하는 함수 $\mathbf{F}$이다:
$$\mathbf{F}(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j} = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle$$
여기서 $P$와 $Q$는 스칼라장 (두 변수의 함수).
정의 2 (3차원 벡터장): $\mathbb{R}^3$의 부분집합 $E$에 대해, 필드는 다음과 같이 정의된다: $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
정의 2 (3차원 벡터장): $\mathbb{R}^3$의 부분집합 $E$에 대해, 필드는 다음과 같이 정의된다: $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
물리적 해석
- 속도장: 유체 흐름이나 바람 패턴을 나타냅니다. 예를 들어, 그림 1은 샌프란시스코 만의 바람 패턴을 보여주며, 그림 13은 수렴하는 파이프를 통과하는 유체를 모델링합니다.
- 힘장:뉴턴의 만유인력 법칙 크기가 $|\mathbf{F}| = \frac{mMG}{r^2}$인 필드를 정의합니다. 벡터 형태로는 $\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\frac{mMG}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$입니다. 참고로 물리학자들은 $\mathbf{x}$ 대신 $\mathbf{r}$을 자주 사용합니다.
- 전기장: $\mathbf{E}(\mathbf{x}) = \frac{\varepsilon Q}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$로 정의되며, 전하 단위당 힘을 나타냅니다.
그라디언트장의 기하학적 구조
$f$가 스칼라 함수일 경우, 그라디언트 $\nabla f$는 특수한 종류의 벡터장을 생성합니다. 3차원에서는 다음과 같이 표현됩니다:
$$\nabla f(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$☸ 기하학적 통찰
그림 15에서 보듯이, 그라디언트 벡터는 항상 수직 원래 함수 $f$의 등고선(또는 등면)과 항상 수직이며, 증가율이 가장 큰 방향을 가리킵니다.
예제 1: 회전하는 필드
$\mathbf{F}(x, y) = -y\mathbf{i} + x\mathbf{j}$를 고려해 봅시다. $(1, 0)$에서 $\langle 0, 1 \rangle$, $(0, 1)$에서 $\langle -1, 0 \rangle$입니다. 이를 플롯하면 원점 주위의 순환 흐름이 나타나며, 이는 소용돌이와 기계적 회전을 모델링하는 수학적 기반입니다.